Question

已知函數f(x)=sin 2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)+2cos2ωx(ω＞0，x∈R)，在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若將函數f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）的最大值及單調遞減區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用二倍角公式可將函數化簡為f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，再由在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

6

可解得ω=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，由正弦函數的性質，根據圖象變換規律得出（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

3

2

，令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），即可解出其單調增區間．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx+1+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
令2ωx+

π

6

=

π

2

，將x=

π

6

代入可得：ω=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
函數f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后得出y=sin[2（x-

π

6

）+

π

6

）]+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

2

，
再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）=sin（

1

2

x-

π

6

）+

3

2

，
最大值為1+

3

2

=

5

2

，
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
4kπ+

4

3

π≤x≤4kπ+

10π

3

，
單減區間[4kπ+

4

3

π，4kπ+

10π

3

]，（k∈Z）．

點評：本題考查了利用兩角和與差的公式化簡解析式，三角函數的性質，圖象變換規律．