Question

（2010•河?xùn)|區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁、F₂，離心率e=

2

2

，焦距為2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F₁的直線與橢圓交于M，N點(diǎn)，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

2

2

，焦距為2，求出幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，即可求直線l的方程．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率e=

2

2

，焦距為2，
∴

c

a

=

2

2

，2c=2
∴c=1，a=

2

∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）由（1）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
若l斜率不存在，方程為x=-1，代入橢圓方程可得M（-1，

2

2

），N（-1，-

2

2

）
此時，|

F2M

+

F2N

|=4與已知矛盾，
l的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，y₁+y₂=

2k

1+2k2

∴MN中點(diǎn)E為（

-2k2

1+2k2

，

k

1+2k2

）
由題意，F(xiàn)₂（1，0），MN中點(diǎn)E，∴EF₂是△MNF₂的中線
∴

F2E

=

F2M

+

1

2

MN

=

F2M

+

1

2

(

F2N

-

F2M

)=

1

2

(

F2M

+

F2N

)
∴

F2E

=

1

2

|

F2M

+

F2N

|=

26

3

∴

( -2k2 1+2k2 -1)2+( k 1+2k2 )2

=

26

3

∴40k⁴-23k²-17=0
∴k²=1或k2=-

17

40

（舍去）
∴k=±1
∴所求直線方程為y=x+1或y=-x-1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．