Question

【題目】已知函數f（x）= 在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求實數a的值及f（x）的極值；
（2）若對任意x1 ， x2∈[e2 ， +∞），有| |＞ ，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= ，

∴ ，

令f'（1）=0，

∴ =0，

解得a=1；

令f′（x）=0，則lnx=0，

解得x=1，

即f（x）有極大值為f（1）=1

（2）解：由| |＞ ，可得 ，

令 ，則g（x）=x﹣xlnx，其中x∈（0，e﹣2]，

g'（x）=﹣lnx，又x∈（0，e﹣2]，則g'（x）=﹣lnx≥2，

即 ，

因此實數k的取值范圍是（﹣∞，2]

【解析】（1）求函數f（x）的導數，根據導數的幾何意義求出a的值，再利用f′（x）=0，求出函數f（x）的極值；（2）由| |＞ 變形得 ，構造函數 ，利用導數求出g（x）在定區間上的取值范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．