Question

已知函數f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數的單調減區間；
（Ⅲ）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡解析式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，即可求出f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ即可求得函數的單調減區間．
（Ⅲ）由已知可先求得2x+

π

4

的范圍，即可求出函數f（x）的最小值．

解答： （本題10分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+2cos²x+1=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，…（2分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π．…（4分）
（Ⅱ）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ得 

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z）
∴函數的單調減區間[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）．…（7分）
（Ⅲ）由x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x∈[-

π

2

，

π

2

]⇒2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．
∴當2x+

π

4

=-

π

4

時，即x=-

π

4

時，f（x）取得最小值0．…（10分）

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．