Question

2009年底，某商業集團根據相關評分標準，對所屬100家商業連鎖店進行了年度考核評估，并依據考核評估得分（最低分60分，最高分100分）將這些連鎖店分別評定為A、B、C、D四個類型，其考核評估標準如下表：

評估得分	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
評定類型	D	C	B	A

考核評估后，對各連鎖店的評估分數進行統計分析，得其頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）估計該商業集團各連鎖店評估得分的中位數；
（Ⅱ）假設該商業集團所有商業連鎖店的評估得分互不相同，將所有A類型連鎖店按評估得分從高到低依次編號為A₁，A₂，A₃，…；所有D類型連鎖店按評估得分從高到低依次編號為D₁，D₂，D₃，…，現從A、D兩類型連鎖店中各隨機抽取1家對各項評估指標進行比較分析，記被抽取的兩家連鎖店分別為A_i，D_j，求i+j≥35的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為0.015×10=0.15，0.04×10=0.4，
在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的面積相等，所以中位數在區間[70，80）內．
設中位數為70+x，則，
解得x=8.75．
估計該商業集團各連鎖店評估得分的中位數是78.75分
（Ⅱ）由直方圖可知，A類型連鎖店的頻數是0.025×10×100=25，
D類型連鎖店的頻數是0.015×10×100=15，
所以該商業集團A類型連鎖店共有25家，D類型連鎖店共有15家．
所以i∈{1，2，3，…，25}，j∈{1，2，3，…，15}．
若i+j≥35，則20≤i≤25，j≤15．
當i=20時，j=15，有1種抽取方法；
當i=21時，j=14，15，有2種抽取方法；
當i=22時，j=13，14，15，有3種抽取方法；
當i=23時，j=12，13，14，15，有4種抽取方法；
當i=24時，j=11，12，13，14，15，有5種抽取方法；
當i=25時，j=10，11，12，13，14，15，有6種抽取方法．
記“i+j≥35”為事件A，則事件A包含的基本事件數為1+2+3+4+5+6=21．
又從A，D兩類型連鎖店中各隨機抽取1家的方法總數為25×15=375．
所以 P（A）==，
故i+j≥35的概率是．
分析：（I）根據在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的面積相等，判斷出中位數所在的小矩形，設出中位數列出方程求出中位數．
（II）利用頻率分布直方圖中頻率等于縱坐標乘以組距，各個范圍內的頻數等于頻率乘以樣本容量，求出A，D兩類的頻數，通過列舉的方法求出事件“i+j≥35”的頻數，利用古典概型求出事件的概率．
點評：解決頻率分布直方圖的問題，一定要注意直方圖中的縱坐標為頻率比組距；求古典概型的概率關鍵是求出基本事件的個數，求基本事件個數的方法有：列舉法、列表法、排列組合的方法、樹狀圖的方法．