Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，且在（-∞，0]上是減函數，若實數a滿足f（a）≤f（2），則a的取值范圍是

-2≤a≤2

；a²-2a+2的最大值是

10

．

Answer 1

分析：由題設條件知，可先研究函數的單調性，由函數y=f（x）是R上的偶函數，且在（-∞，0]上是減函數，可得出函數在（0，+∞）上是增函數，由此判斷出實數a的取值范圍，再解出a²-2a+2在此范圍上的最大值

解答：解：由題 意，由函數y=f（x）是R上的偶函數，且在（-∞，0]上是減函數，可得出函數在（0，+∞）上是增函數，由此得函數∵f（a）≤f（2），
∴-2≤a≤2
又a²-2a+2=（a-1）²+1，故其最大值為（-2-1）²+1=10，
故答案為-2≤a≤2； 10

點評：本題考查函數奇偶性的性質，解題的關鍵是根據題設中的條件得出“自變量離原點近則函數值小”由此解出實數a的取值范圍，再由配方法解出a²-2a+2的最大值，二次函數求最值時常用配方的技巧，本題 考察了數形結合的思想、轉化的思想