Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的上項點為B₁，右、右焦點為F₁、F₂，△B₁F₁F₂是面積為的等邊三角形．
（I）求橢圓C的方程；
（II）已知P（x，y）是以線段F₁F₂為直徑的圓上一點，且x＞0，y＞0，求過P點與該圓相切的直線l的方程；
（III）若直線l與橢圓交于A、B兩點，設△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G、H，請問原點O在以線段GH為直徑的圓內嗎？若在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角形的面積公式和等邊三角形的性質可得=，a=2c，又a²=b²+c²．即可解出．
（Ⅱ）由F₁F₂是圓的一條直徑，可得圓的方程為x²+y²=1．又P（x，y）是該圓在第一象限部分上的切線的切點，可得，解得．可得切線方程為，又，即可得出；．
（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），據重心定理可得G，H．若原點O在以線段GH為直徑的圓內??x₁x₂+y₁y₂＜0，聯立，可得y₁+y₂，y₁y₂，又，即可證明x₁x₂+y₁y₂＜0．
解答：解：（I）∵=，a=2c，a²=b²+c²．
解得c²=1，b²=3，a²=4，
∴橢圓C的方程為：
（Ⅱ）∵F₁F₂是圓的一條直徑，∴圓的方程為x²+y²=1，
又P（x，y）是該圓在第一象限部分上的切線的切點，
∴，解得．
∴切線方程為，又，
化為l：xx+yy-1=0．
∴切線方程為l：xx+yy-1=0．
（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則G，H．
若原點O在以線段GH為直徑的圓內，則，即，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
下面給出證明：聯立，
消去x整理為，
∴，，
∴==，
∴x₁x₂+y₁y₂==-0．
∴原點O在以線段GH為直徑的圓內．
點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量數量積運算、直線與圓相切、點與圓的位置關系判定等基本知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力與計算能力．．