Question

設函數f（x）=2^x+

a

2x

-1（a為實數）
（1）當a=0時，若函數y=g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求函數y=g（x）的解析式；
（2）當a＜0時，求關于x的方程f（x）=0在實數集R上的解．

Answer 1

分析：（1）利用函數關于直線對稱，通過點的對稱關系求y=g（x）的解析式．
（2）由f（x）=0，解指數方程即可．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=2^x-1
設y=g（x）圖象上任意一點P（x、y），
則P關于x=1的對稱點為P′（2-x，y）…（3分）
由題意P′（2-x，y）在f（x）圖象上，
∴y=2^2-x-1，即g（x）=2^2-x-1；…（6分）
（2）f（x）=0，即2x+

a

2x

-1=0，整理，得：（2^x）²-2^x+a=0
∴2x=

1± 1-4a

2

，又a＜0，所以 

1-4a

＞1
∴2x=

1+ 1-4a

2

，…（10分）
從而x=log2

1+ 1-4a

2

．…（12分）

點評：本題主要考查了與指數函數有關的基本運算，要求熟練掌握指數函數和對數函數的圖象和性質．