Question

設定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx，當x=-

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時，f （x）取得極大值

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，并且函數y=f′（x）為偶函數．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象的切線斜率為7，求切線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用y=f′（x）為偶函數求出b，再利用當x=-

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時，f （x）取得極大值

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，找到關于a，c的方程解出a，c即可．
（Ⅱ）利用切線斜率就是對應導函數的值求出切點的橫坐標，在代入原函數求出切點坐標即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數，∴f'（-x）=f'（x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，∴2bx=0對一切x∈R恒成立，
∴b=0，∴f（x）=ax³+cx．
又當x=-

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時，f（x）取得極大值

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．
∴

f(- 2 2 )= 2 3 f′(- 2 2 )=0

，解得

a= 2 3 c=-1

∴f（x）=

2

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x³-x，f?（x）=2x²-1．（6分）
（Ⅱ）設切點為（x₀，y₀），
則有2x₀²-1-7?x₀=±2，對應y=±

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．（9分）
所以切線方程為y=±

10

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=7（x±2），
化簡得：y=7x±

32

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．（12分）

點評：本題考查利用極值求對應變量的值．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點．