Question

（2012•湛江模擬）已知函數f(x)=

3

sin3x+cos3x+a過點(

π

3

，0)．
（1）求a的值及函數y=f（x）的最小正周期；
（2）若β∈[0，

π

3

]且f(

β

3

)=2，求cos(β+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）由函數圖象過（

π

3

，0），將此點坐標代入函數解析式，利用特殊角的三角函數值化簡，求出a的值確定出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；
（2）由f（

β

3

）=2及函數解析式，得到sin（β+

π

6

）的值，由β的范圍求出β+

π

6

的范圍，利用同角三角函數間的基本關系即可求出cos（β+

π

6

）的值．

解答：解：（1）依題意將（

π

3

，0）代入函數解析式得：

3

sin（3×

π

3

）+cos（3×

π

3

）+a=0，
解得：a=1，
∴f（x）=

3

sin3x+cos3x+1=2sin（3x+

π

6

）+1，
∵ω=3，
∴T=

2π

3

；
（2）∵f（

β

3

）=2sin（3×

β

3

+

π

6

）+1=2，
∴sin（β+

π

6

）=

1

2

，
∵β∈[0，

π

3

]，∴β+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，
∴cos（β+

π

6

）=

1-sin2(β+ π 6 )

=

3

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，三角函數的周期性及其求法，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．