Question

如圖，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿對角線AC將△ABC折起，使點B在平面ACD內的射影O恰在AC上．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線BC與AD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法1：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，利用向量的方法證明，可得AB⊥CD，再利用AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求出，利用向量夾角公式，可求異面直線BC與AD所成的角；
（Ⅲ）求出平面ACD的法向量，平面ABD的法向量，利用向量夾角公式，可求二面角B-AD-C的平面角；
解法2：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）取CD中點E，AB中點F，連OE，OF，EF，則可得∠EOF或其補角為AD，BC所成的角．在△EOF中，利用余弦定理可求異面直線BC與AD所成的角；
（Ⅲ）過O作OG⊥AD于G，連BG，則∠OGB為所求二面角的平面角，在Rt△OGB中可求．
解答：解法1：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵，∴AC²+DC²=AD²，∴AC⊥DC．
又BO⊥平面ACD，AC?平面ACD，∴BO⊥AC，又AB=CB，∴O為AC中點．
以O為坐標原點，以OA，OB所在直線分別為x，z軸，以過O且平行于CD的直線為y軸建立空間直角坐標系．…（3分）
則，
∴，，∴，∴AB⊥CD，
又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴，即異面直線BC與AD所成的角為60°．…（9分）
（Ⅲ）平面ACD的法向量為．
設平面ABD的法向量為，則，即，解得，
取z=1，∴．
設二面角B-AD-C的平面角為θ，則．…（12分）
解法2：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵，∴AC²+DC²=AD²，∴AC⊥DC．
又BO⊥平面ACD，∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD…（4分）
（Ⅱ）∵BA=BC，BO⊥AC，∴O為AC中點．
取CD中點E，AB中點F，連OE，OF，EF，則OE∥AD，OF∥BC，

∴∠EOF或其補角為AD，BC所成的角．
作FH∥BO交AC于H，連HE，則FH⊥平面ACD，
∴，
在△EOF中，∵，∴，
∴∠EOF=120°，故異面直線BC與AD所成的角為60°．…（8分）
（Ⅲ）過O作OG⊥AD于G，連BG，則∠OGB為所求二面角的平面角．
Rt△OGB中，，∴．…（12分）
點評：本題考查線面垂直，考查線線角，考查面面角，考查傳統方法與向量方法的結合，屬于中檔題．