Question

如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，∥,,垂足為，是四棱錐的高。

（Ⅰ）證明：平面 平面；

（Ⅱ）若,60°,求四棱錐的體積。

 

Answer 1

【答案】

(1)由PH是四棱錐P-ABCD的高，得到ACPH,又ACBD,推出AC平面PBD.

故平面PAC平面PBD.

(2)   

【解析】

試題分析：(1)因為PH是四棱錐P-ABCD的高。

所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平面PHD內,且PHBD=H.

所以AC平面PBD.

故平面PAC平面PBD.

(2)因為ABCD為等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.

所以HA=HB=.

因為APB=ADR=60⁰

所以PA=PB=,HD=HC=1.

可得PH=.

等腰梯形ABCD的面積為S=AC x BD = 2+.

所以四棱錐的體積為V=x（2+）x= 

考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，體積的計算。

點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題（I）較為簡單，（II）則體現了“一作、二證、三計算”的解題步驟。