Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

7

4

，長軸端點與短軸端點的距離為5．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P在橢圓C上，求點P到直線3x-4y=24的最小距離．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由離心率公式和長軸端點與短軸端點的距離，及a，b，c的關系，列出方程組，解除即可；
（2）設P（4cosα，3sinα），運用點到直線的距離公式，結合兩角差的正弦公式，和正弦函數的值域，即可得到最小值．

解答： 解：（1）長軸端點與短軸端點的距離為5，
則a²+b²=25，
又離心率為

7

4

，即

c

a

=

7

4

，
又a²-b²=c²．
解得，a=4，b=3，c=

7

，
則橢圓方程為：

x2

16

+

y2

9

=1；
（2）設P（4cosα，3sinα），
則點P到直線3x-4y=24的距離為d=

|12cosα-12sinα-24|

9+16

=

|24+12 2 sin(α- π 4 )|

5

，
則當sin（α-

π

4

）=-1時，取得最小值

24-12 2

5

．
即有點P到直線3x-4y=24的最小距離為

24-12 2

5

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查橢圓的參數方程的運用，考查點到直線的距離的運用，考查正弦函數的值域，屬于中檔題．