Question

設實系數一元二次方程x²+ax+2b-2=0有兩個相異實根，其中一根在區間（0，1）內，另一根在區間（1，2）內，則

b-4

a-1

的取值范圍是

（

1

2

，

3

2

）

．

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜2＜x₂，結合對應二次函數性質得到 然后在平面直角坐標系中，做出滿足條件的可行域，分析

b-4

a-1

的幾何意義，然后數形結合即可得到結論．

解答：解：實系數一元二次方程x²+ax+2b-2=0有兩個相異實根，f（x）=x²+ax+2b-2，圖象開口向上，對稱軸為x=-

a

2

，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

可得

2b-2＞0 1+a+2b-2＜0 4+2a+2b-2＞0

，
畫出可行域：

A點坐標為

b=1 a+2b-1=0

解得A（-1，1）；
B點坐標為

a+b+1=0 a+2b-1=0

解得B（-3，2）；
設目標函數z=

b-4

a-1

，表示可行域里面的點（a，b）與點p（1，4）的斜率的大小，
z_min=k_AP=

4-2

4

=

1

2

；
z_max=k_BP=

4-1

1+1

=

3

2

，
∴

1

2

≤z≤

3

2

，
∴

b-4

a-1

的取值范圍是（

1

2

，

3

2

）；

點評：此題主要考查函數的零點的判定定理，還考查了簡單線性和規劃問題，要分析

b-4

a-1

的幾何的意義，是一道基礎題；