【題目】如圖，四面體
中，
是正三角形，
是直角三角形，
，
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若點
為
中點，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）先證明出
，可得出
，可得出
，然后取
的中點
，連接
、
，并設
，利用勾股定理證明出
，由等腰三角形三線合一得出
，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出
平面
，再利用平面與平面垂直的判定定理可得出平面
平面；
（2）以點為坐標原點，
、
、所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系，設
，計算出平面
和
的法向量，利用空間向量法求出二面角
的余弦值，再利用同角三角函數的基本關系可得出答案.
（1）
是等邊三角形，
，又
，
，
，
，
為直角三角形，所以，
取的中點，連接、，則，
.
設，則
，又
，
，
，又
，
平面，
平面
，因此，平面平面；
（2）由題設及（1）可知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系
，設，則
、
、
、
，
為
的中點，則
，
，
，
.
設平面的一個法向量為
，由
，得
，
得
，令
，則
，
，
所以，平面的一個法向量為
.
同理可得，平面的一個法向量為
，
，
所以，二面角的正弦值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2，4）．
（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程；
（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，
求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學擬在高一下學期開設游泳選修課，為了了解高一學生喜歡游泳是否與性別有關，現從高一學生中抽取100人做調查，得到
列聯表：
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合計 | 100 |
且已知在100個人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學生的概率為
．
（1）請完成上面的列聯表；
（2）根據列聯表的數據，是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關？并說明你的理由．
參考公式與臨界值表：
．
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機械工程專家，機構運動學家勒洛首先發現，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，現在勒洛三角形中隨機取一點，則此點取自正三角形外的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們知道，地球上的水資源有限，愛護地球、節約用水是我們每個人的義務與責任.某市政府為了對自來水的使用進行科學管理，節約水資源，計劃確定一個家庭年用水量的標準.為此，對全市家庭日常用水量的情況進行抽樣抽查，獲得了
個家庭某年的用水量（單位：立方米），統計結果如下表及圖所示.
分組 | 頻數 | 頻率 |
| 25 | |
| 0.19 | |
| 50 | |
| 0.23 | |
| 0.18 | |
| 5 |
（1）分別求出，
的值；
（2）若以各組區間中點值代表該組的取值，試估計全市家庭年均用水量；
（3）從樣本中年用水量在
（單位：立方米）的5個家庭中任選3個，作進一步的跟蹤研究，求年用水量最多的家庭被選中的概率（5個家庭的年用水量都不相等）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某調研機構，對本地
歲的人群隨機抽取
人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，將生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，結果顯示，有
人為“低碳族”，該人的年齡情況對應的頻率分布直方圖如圖.
（1）根據頻率分布直方圖，估計這名“低碳族”年齡的平均值，中位數；
（2）若在“低碳族”且年齡在
、
的兩組人群中，用分層抽樣的方法抽取
人，試估算每個年齡段應各抽取多少人？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻數分布表：
質量指標值分組 |
|
|
|
|
|
頻數 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
（1）在答題卡上畫出這些數據的頻率分布直方圖（要求用陰影部分顯示）；
（2）根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品80%”的規定？
（3）估計這種產品質量指標值的平均值及中位數（其中求平均值時同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，求中位數精確到0.1）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在直角梯形
中，
，
，點
在
上，且
，將
沿
折起，使得平面
平面
(如圖2).
為中點
(1)求證:
；
(2)求四棱錐
的體積；
(3)在線段
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由
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