Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x+t，g（x）=x2﹣t（t∈R）
（1）當x∈[2，3]時，求函數f（x）的值域（用t表示）
（2）設集合A={y|y=f（x），x∈[2，3]}，B={y|y=|g（x）|，x∈[2，3]}，是否存在正整數t，使得A∩B=A．若存在，請求出所有可能的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=（x﹣1）2+t﹣1，x∈[2，3]，

對稱軸x=1，f（x）在[2，3]遞增，

∴x=2時，f（x）最小，f（2）=t，

x=3時，f（x）最大，f（3）=t+3，

∴f（x）的值域是[t，t+3]；

（2）解：由（1）得：A=[t，t+3]，B即為|g（x）|的值域，

∵A∩B=A，∴AB，

∵g（x）=x2﹣t，x∈[2，3]，

假設存在正整數t符合要求，

①當1≤ ≤2時，即1≤t≤4時，

|g（x）|的值域是B=[4﹣t，9﹣t]，

由4﹣t≤t＜t+3≤9﹣t，

∴2≤t≤3，

∴t=2或3，

②當2＜ ＜3時，即4＜t＜9時：

|g（x）|的值域B=[0，M]，其中M=max{﹣f（2），f（3）}=max{t﹣4，9﹣t}，

顯然當4＜t＜9時，t+3＞t﹣4且t+3＞9﹣t，不符舍去，

③當 ≥3即t≥9時，

|g（x）|的值域是B=[t﹣9，t﹣4]，

由t﹣9≤t+3≤t﹣4，解集為空，

綜上t=2或3．

【解析】（1）通過配方求出f（x）的值域；（2）求出集合A，通過討論t的范圍，求出集合B，解不等式求出t的值即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．