Question

【題目】已知⊙O：x2+y2=1和定點A（2，1），由⊙O外一點P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求實數a，b間滿足的等量關系；
（2）求線段PQ長的最小值；
（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑最小值時⊙P的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OQ，∵切點為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．

由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．

化簡可得 2a+b﹣3=0

（2）解：

∵PQ= = = = ，

故當a= 時，線段PQ取得最小值為

（3）解：若以P為圓心所作的⊙P 的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．

而OP= = = ，故當a= 時，PO取得最小值為 ，

此時，b=﹣2a+3= ，R取得最小值為 ﹣1．

故半徑最小時⊙P 的方程為 + =

【解析】（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2 ， 即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2 ， 化簡可得a，b間滿足的等量關系．（2）由于 PQ= = ，利用二次函數的性質求出它的最小值．（3）設⊙P 的半徑為R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函數的性質求得OP= 的最小值為 ，此時，求得b=﹣2a+3= ，R取得最小值為 ﹣1，從而得到圓的標準方程．