Question

【題目】已知橢圓.雙曲線的實軸頂點就是橢圓的焦點，雙曲線的焦距等于橢圓的長軸長.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）設直線經過點與橢圓交于兩點，求的面積的最大值；

（3）設直線（其中為整數）與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，

【解析】

（1）根據橢圓方程可以得到雙曲線的焦距和頂點坐標，從而直接寫出雙曲線方程即可；

（2）設出直線方程，將三角形面積拆分為2個三角形的面積，從而利用韋達定理進行處理；

（3）根據直線與兩個曲線相交，通過夾逼出的取值范圍，再結合向量相加為零轉化出的條件，得到之間的關系，從而利用是整數，對結果進行取舍即可.

（1）對橢圓，因為，

故其焦點為，橢圓的長軸長為.

設雙曲線方程為，

由題可知：，解得.

故雙曲線的方程為：.

（2）因為直線AB的斜率顯然不為零，

故設直線方程為，聯立橢圓方程

可得

設交點，

則

則

又

故

令，解得

故

當且僅當時，即時，取得最大值.

故的面積的最大值為.

（3）聯立直線與橢圓方程

可得

整理得 ①

設直線與橢圓的交點為

故可得 ②

同理：聯立直線與雙曲線方程

可得

整理得 ③

設直線與雙曲線的交點為

故可得 ④

要使得

即可得

故可得

將②④代入可得

解得.

綜上所述，要滿足題意，只需使得：

故當時，可以取得滿足題意；

即直線方程可以為

當時，可以取滿足題意.

即直線方程可以為

故存在這樣的直線有9條，能夠使得.