Question

已知向量a=（1+cos（2x+φ），1），b=（1，a+sin（2x+φ））（φ為常數且-＜φ＜），函數f（x）=a•b在R上的最大值為2．
（1）求實數a的值；
（2）把函數y=f（x）的圖象向右平移個單位，可得函數y=2sin2x的圖象，求函數y=f（x）的解析式及其單調增區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角和公式對函數解析式化簡整理，利用正弦函數的值域表示出函數的最大值求得a．
（2）把（1）中函數的圖象依題意平移后可得新的解析式，令φ=2kπ求得φ的值，然后利用正弦函數的單調性求得函數的單調遞增區間．
解答：解：（1）f（x）=1+cos（2x+φ）+a+sin（2x+φ）
=2sin（2x+φ+）+a+1．
因為函數f（x）在R上的最大值為2，
所以3+a=2，即a=-1．
（2）由（1）知：f（x）=2sin（2x+φ+）．
把函數f（x）=2sin（2x+φ+）的圖象向右平移個單位可得函數
y=2sin（2x+φ）=2sin2x，
∴φ=2kπ，k∈Z．
又∵-＜φ＜，∴φ=0．
∴f（x）=2sin（2x+）．
因為2kπ-≤2x+≤2kπ+⇒kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
所以，y=f（x）的單調增區間為
[kπ-，kπ+]，k∈Z．
點評：本題主要考查了三角函數的最值．三角函數的單調性，值域等基本性質．要求學生對三角函數基礎知識全面熟練的掌握．