Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=（-1，2），又點(diǎn)A（8，0），B（-8，t），C（8sinθ，t）．
（I）若

AB

⊥

a

求向量

OB

的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若向量

AC

與向量

a

共線，當(dāng)tsinθ取最大值時，求

OA

•

OC

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題目給出的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出用到的向量的坐標(biāo)，然后直接利用向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算；
（Ⅱ）求出向量

AC

的坐標(biāo)，由向量

AC

與向量

a

共線列式得到t與sinθ的關(guān)系，兩邊同時乘以sinθ后配方計(jì)算tsinθ取最大值，并求出此時的

OC

=(4，8)，代入數(shù)量及公式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由A（8，0），B（-8，t），
所以

AB

=(-16，t)，

a

=（-1，2），又

AB

⊥

a

，所以16+2t=0，t=-8．
故

OB

=(-8，-8)．
（Ⅱ）由A（8，0），C（8sinθ，t），所以

AC

=(8sinθ-8，t)，

a

=（-1，2），
又向量

AC

與向量

a

共線，所以

8sinθ-8

-1

=

t

2

，t=16-16sinθ，
tsinθ=16sinθ-16sin2θ=-16(sinθ-

1

2

)2+4．
故當(dāng)sinθ=

1

2

時，tsinθ取最大值，此時

OC

=(4，8)．
所以，

OA

•

OC

=(8，0)•(4，8)=32．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，考查了兩個向量共線的坐標(biāo)表示，訓(xùn)練了配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．