Question

（2013•黃浦區二模）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為2，A1D=

13

．
（1）求該四棱柱的側面積與體積；
（2）若E為線段A₁D的中點，求BE與平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）題目給出的是正四棱柱，給出了底面邊長和一條側面對角線的長，所以先求出正四棱柱的側棱長，也就是四棱柱的高，直接利用側面積公式及體積公式求解該四棱柱的側面積與體積；
（2）在平面ADD₁A₁內過E作EF⊥AD，由面面垂直的性質可得EF⊥底面ABCD，連接BF后，則∠EBF為要求的線面角，然后通過求解直角三角形求出∠EBF的正切值，利用反三角函數可表示出要求的角．

解答：解：（1）根據題意可得：在 Rt△AA₁D中，
AA1=

A1D2-AD2

=

( 13 )2-22

=3．
所以正四棱柱的側面積S=（2×3）×4=24．
體積V=2×2×3=12；
（2）如圖，

過E作EF⊥AD，垂足為F，連結BF，則EF⊥平面ABCD，
∵BE?平面ABCD，∴EF⊥BF
在 Rt△BEF中，∠EBF就是BE與平面ABCD所成的角
∵EF⊥AD，AA₁⊥AD，∴EF∥AA₁，
又E是A₁D的中點，∴EF是△AA₁D的中位線，
∴EF=

1

2

AA1=

3

2

在 Rt△AFB中，BF=

AF2+AB2

=

12+22

=

5

∴tan∠EBF=

EF

BF

=

3 2

5

=

3 5

10

．
∴∠EBF=arctan

3 5

10

．

點評：本題考查了柱體的側面積與體積，考查了線面角，解答此題的關鍵是利用面面垂直的性質定理找到線面角，此題屬中檔題．