Question

若x∈[-1，1]時，2^2x-1＜a^x+1恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A．（2，+∞）
• B．（

  3

  ，+∞）
• C．（

  2

  ，+∞）
• D．（

  5

  ，+∞）

Answer 1

分析：對于x∈[-1，1]時，2^2x-1＜a^x+1恒成立，兩邊取對數后，構造函數f（x），轉化為在x∈[-1，1]時f（x）＜0恒成立問題，求出a的取值范圍．

解答：解：∵x∈[-1，1]時，2^2x-1＜a^x+1恒成立，
∴（2x-1）lg2＜（x+1）lga，
即（2lg2-lga）x＜lga+la2，
即xlg

4

a

-lg（2a）＜0；
設f（x）=xlg

4

a

-lg（2a），
在x∈[-1，1]時f（x）＜0恒成立，
當a≥4時，f（x）在[-1，1]上是減函數，有最大值f（-1）=-lg

4

a

-lg（2a）=-lg8＜0恒成立，
當1＜a＜4，或0＜a＜1時，f（x）在[-1，1]上是增函數，有最大值f（1）=lg

4

a

-lg（2a）=lg

2

a2

＜0，
得a²＞2，
∴a＞

2

，
綜上，實數a的取值范圍是a＞

2

；
故選：C．

點評：本題考查了指數函數、對數函數的性質與應用，也考查了分類討論思想，是易錯題．