Question

已知函數(shù)f（x）=x²+a，（x∈R）．
（1）對?x₁，x₂∈R比較

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)的大小；
（2）若x∈[-1，1]時，有|f（x）|≤1，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對?x₁，x₂∈R，用作差法比較兩個數(shù)的大小關(guān)系．
（2）由于|f（x）|≤1，等價于-x²-1≤a≤-x²+1在[-1，1]上恒成立，即

a≥(-x2-1)max，x∈[-1，1] a≤(-x2+1)min，x∈[-1，1]

，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）對?x₁，x₂∈R，由

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)=

1

4

(x1-x2)2≥0，得

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)．
（2）由于|f（x）|≤1，等價于-1≤f（x）≤1，等價于-1≤x²+a≤1，等價于-x²-1≤a≤-x²+1在[-1，1]上恒成立，
所以，只須

a≥(-x2-1)max，x∈[-1，1] a≤(-x2+1)min，x∈[-1，1]

，求得-1≤a≤0，所以所求實數(shù)a的取值范圍是[-1，0]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，不等式比較大小的方法，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．