Question

已知直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的右支交于不同兩點A，B，若另有一條直線l經過P（2，0）及線段AB的中點Q．
（1）求k的取值范圍；
（2）求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯立

y=kx-1 x2-y2=1

，化為（1-k²）x²+2kx-2=0，由于直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的右支交于不同兩點A，B，可得1-k²≠0．由△=4k²+8（1-k²）＞0，1＜k，解得即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點Q（x₀，y₀）．利用根與系數的關系、中點坐標公式、點斜式、二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）聯立

y=kx-1 x2-y2=1

，化為（1-k²）x²+2kx-2=0，
∵直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的右支交于不同兩點A，B，
∴1-k²≠0．由△=4k²+8（1-k²）＞0，1＜k，解得1＜k＜

2

．
∴k的取值范圍是(1，

2

)．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點Q（x₀，y₀）．
由（1）可得x1+x2=-

2k

1-k2

，
∴x0=

-k

1-k2

，y₀=kx₀-1=

-1

1-k2

．∴Q(

-k

1-k2

，

-1

1-k2

)．
∴kPQ=

0+ 1 1-k2

2+ k 1-k2

=

1

2-2k2+k

．
∴直線l的方程為y-0=

1

2-2k2+k

(x-2)，即y=

1

2+k-2k2

x-

2

2+k-2k2

．
∴直線l的在y軸上的截距b=

-2

2+k-2k2

=

1

(k- 1 4 )2- 5 4

，
∵1＜k＜

2

，∴當k∈(1，

1+ 17

4

)時，b∈（-∞，-2）；
當k∈(

1+ 17

4

，

2

)時，b∈(2+

2

，+∞)．

點評：本題綜合考查了直線與雙曲線的相交轉化為方程聯立得到△＞0及其根與系數的關系、直線斜率與漸近線的斜率關系、中點坐標公式、點斜式、二次函數的單調性等基礎學生與基本方法，屬于難題．