Question

已知函數f(x)=

a(x-1)

x-2

，a為常數
（1）若f（x）＞2的解集為（2，3），求a的值
（2）若f（x）＜x-3對任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由解集可知x＞2，從而對不等式進行化簡，解出不等式后對比解集端點可得關于a的方程，解出即可；
（2）f（x）＜x-3對任意的x∈（2，+∞）恒成立，可先分離出參數a后轉化為求函數最值解決，對函數進行恰當變形，然后利用基本不等式可求最值；

解答：解：（1）由解集為（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，
所以f（x）＞2即

a(x-1)

x-2

＞2可化為a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，
由解集形式知：a-2＜0，所以x＜

a-4

a-2

②，
由①②得2＜x＜

a-4

a-2

，
所以

a-4

a-2

=3，解得a=1，；
（2）f（x）＜x-3即

a(x-1)

x-2

＜x-3對任意的x∈（2，+∞）恒成立，等價于a＜

(x-2)(x-3)

x-1

對任意的x∈（2，+∞）恒成立，
又

(x-2)(x-3)

x-1

=（x-1）+

2

x-1

-3≥2

(x-1)• 2 x-1

-3=2

2

-3，
當且僅當x=

2

+1時取等號，
所以a＜2

2

-3；

點評：本題考查函數恒成立問題、根與系數的關系，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力，解決本題的關鍵是對問題進行合理轉化，變為求函數最值問題．