Question

【題目】如圖，某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC= ．管理部門欲在該地從M到D修建小路：在 上選一點P（異于M，N兩點），過點P修建與BC平行的小路PQ．

（1）若∠PBC= ，求PQ的長度；
（2）當點P選擇在何處時，才能使得修建的小路 與PQ及QD的總長最小？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解．如圖示：

，

連接BP，過P作PP1⊥BC，垂足為P1，過Q作QQ1⊥BC垂足為Q1，

在Rt△PBP1中， ，PQ=1

（2）解．設∠PBP1=θ， ，

∴ ，

在Rt△QBQ1中， ，

∴總路徑長f（θ）= ﹣θ+4﹣cosθ﹣ sinθ，（0＜θ＜ ），

f′（θ）=sinθ﹣ cosθ﹣1=2sin（θ﹣ ）﹣1，

令f'（θ）=0， ，

當 時，f'（θ）＜0，

當 時，f'（θ）＞0，

所以當 時，總路徑最短．

答：當BP⊥BC時，總路徑最短

【解析】（1）作出輔助線，根據梯形的性質求出PQ的長即可；（2）設∠PBP1=θ，求出PQ的長，得到總路徑長f（θ）的表達式，通過求導得到函數的單調性，從而求出去最小值時θ的值，即P點的位置即可．