Question

【題目】已知定點，動點在軸上運動，過點作直線交軸于點，延長至點，使．點的軌跡是曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若，是曲線上的兩個動點，滿足，證明：直線過定點；

（3）若直線與曲線交于，兩點，且，，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 直線過定點；(3)

【解析】

(1)設(shè)出動點,則的坐標(biāo)可表示出,利用,可求得的關(guān)系式,即的軌跡方程．

(2)設(shè)直線 ,聯(lián)立直線與(1)中所得拋物線的方程,利用韋達定理表示,進而求得即可.

(3)設(shè)出直線的方程,A,B的坐標(biāo),根據(jù)推斷出,把直線與拋物線方程聯(lián)立消去求得的表達式,進而求得,利用弦長公式表示出,再根據(jù)的范圍,求得的范圍．

(1)設(shè)動點,則,,

∵,即,化簡得.

(2)設(shè)直線 ,聯(lián)立.

設(shè),則,.

又,故由題有,即.

由題意可知,故.故直線 ,恒過定點.

(3)設(shè)直線方程為,與拋物線交于點,

則由,得,即,

∴,解得,

由,

∴,

當(dāng)恒成立,

.

由題意,,

可得,

即,

因為,故

解得,

∴或.

即所求的取值范圍是.