Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求在上的單調區間；

（Ⅲ）當時，證明：在上存在最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）單調遞減區間為,單調遞增區間為；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）先求導數，根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式得直線方程，（Ⅱ）先求導函數在區間上零點，列表分析導函數符號變化規律，即得單調區間，（Ⅲ）利用導數研究導函數零點情況，再根據導函數零點確定函數單調性，最后根據單調性確定函數最值.

（Ⅰ）因為，所以

則，，所以切線方程為

（Ⅱ）令，即，，得

當變化時，變化如下：

		0
	減	最小值	增

所以函數的單調遞減區間為,單調遞增區間為

（Ⅲ）因為，所以

令，則

因為，所以

所以即在內有唯一解

當時，，當時，，

所以在上單調遞減,在上單調遞增.

所以，又因為

所以在內有唯一零點

當時，即，

當時，即，

所以在上單調遞減,在上單調遞增.

所以函數在處取得最小值

即時，函數在上存在最小值