Question

( 本小題滿分12分)

已知集合中的元素都是正整數(shù)，且，集合具有性質(zhì)：對(duì)任意的，且，有．

(Ⅰ) 判斷集合是否具有性質(zhì)；

(Ⅱ) 求證：；

(Ⅲ) 求證：。

Answer 1

本小題考察對(duì)數(shù)學(xué)概念的閱讀理解能力，考查不等式、集合知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，考查思維能力、論證能力、運(yùn)算能力和綜合解題的能力．滿分12分．

〖解析〗(Ⅰ)由于，，，

，，，

所以集合具有性質(zhì)．              ……………………4分

（Ⅱ）證明：依題意有，又，

因此．

可得．

所以．

即．                   ……………………8分

（Ⅲ）證明：由(Ⅱ)可得．

又，可得，因此．

同理，

可知．

又，可得，

所以均成立．

當(dāng)時(shí)，取，則，可知．

又當(dāng)時(shí)，．

所以．                       ……………………12分