Question

已知四棱錐P-ABCD（如圖）底面是邊長為2的正方形．PA⊥平面ABCD，PA=2，M、N分別為AD、BC的中點，MQ⊥PD于Q．
（Ⅰ）求證：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明平面PMN⊥平面PAD，我們只要證明一個平面經過另一個平面的垂線即可，分析圖中已知直線易得，MN⊥平面PAD滿足要求，故我們可以先MN⊥平面PAD，然后根據面面垂直的判定定理，即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，∠PMQ即為二面角P-MN-Q的平面角，解三角形PMQ，即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，MN?底面ABCD
∴MN⊥PA
又∵MN⊥AD，且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD
又∵MN?平面PMN
∴平面PMN⊥平面PAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知：PM⊥MN，MQ⊥MN
∴∠PMQ即為二面角P-MN-Q的平面角
而PM=

5

，MQ=

2

2

，
∴cos∠PMQ=

MQ

PM

=

10

10

點評：本題以四棱錐為載體，借助于線面垂直證明面面垂直，考查面面角，注意解題步驟：作、證、求．