【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）設
，且
，求證:
.
【答案】（1）討論見解析（2）證明見解析
【解析】
（1）求出函數
的定義域以及函數的導數，然后根據
的正負性進行分類討論，求出函數的單調區間；
（2）當
時，求出函數的導數，可以確定
的單調性，設
，可以證明出
，根據
，可以證明出
，根據同角的三角函數關系式可以得到
，最后根據余弦函數的單調性進行證明即可.
（1）
的定義域為
，
，
當
時，
恒成立，在上單調遞減；
當
時，由
解得
，由
解得
，所以在
上單調遞增，在
上單調遞減.
綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）當時，
，
，則在
上單調遞增.設，且
，則
，即
，所以
，可得.因為，所以，所以
，即.因為，所以
，所以
，所以
.綜上可得，
，且
，即
.
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某部門共有4名員工， 某次活動期間， 周六、 周日的上午、 下午各需要安排一名員工值班，若規定同一天的兩個值班崗位不能安排給同一名員工， 則該活動值班崗位的不同安排方式共有（ ）
A.120種B.132種C.144種D.156種
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合
，集合
，
，
滿足.
①每個集合都恰有5個元素
② 
集合
中元素的最大值與最小值之和稱為集合的特征數，記為
，則
的值不可能為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是定義在
上的函數，滿足
.
（1）證明：2是函數的周期；
（2）當
時，
，求在
時的解析式，并寫出在
（
）時的解析式；
（3）對于（2）中的函數，若關于x的方程
恰好有20個解，求實數a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《算法統宗》全稱《新編直指算法統宗》，是屮國古代數學名著，程大位著.書中有如下問題：“今有五人均銀四十兩，甲得十兩四錢，戊得五兩六錢.問：次第均之，乙丙丁各該若干？”意思是：有5人分40兩銀子，甲分10兩4錢，戊分5兩6錢，且相鄰兩項差相等，則乙丙丁各分幾兩幾錢？（注：1兩等于10錢）（ ）
A.乙分8兩，丙分8兩，丁分8兩B.乙分8兩2錢，丙分8兩，丁分7兩8錢
C.乙分9兩2錢，丙分8兩，丁分6兩8錢D.乙分9兩，丙分8兩，丁分7兩
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C上的點
到點
的距離與它到直線
的距離之比為
，圓O的方程為
，曲線C與x軸的正半軸的交點為A，過原點O且異于坐標軸的直線與曲線C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中
，設直線AB，AC的斜率分別為
；
（1）求曲線C的方程，并證明到點M的距離
；
（2）求
的值；
（3）記直線PQ，BC的斜率分別為
、
，是否存在常數
，使得
？若存在，求的值，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜．過去50周的資料顯示，該地周光照量
（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的周數有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數有35周，超過70小時的周數有10周．根據統計，該基地的西紅柿增加量
（百斤）與使用某種液體肥料
（千克）之間對應數據為如圖所示的折線圖．
（1）依據數據的折線圖，是否可用線性回歸模型擬合與的關系？請計算相關系數
并加以說明（精確到0．01）．（若
，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）
（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數受周光照量限制，并有如下關系：
周光照量 |
|
|
|
光照控制儀最多可運行臺數 | 3 | 2 | 1 |
若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元．若商家安裝了3臺光照控制儀，求商家在過去50周周總利潤的平均值．
附：相關系數公式
，參考數據
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動直線
：
與
軸交于點
，過點作直線
，交
軸于點
，點
滿足
，的軌跡為
.
（1）求的方程；
（2）已知點
，點
，過
作斜率為
的直線交于
，
兩點，延長
，
分別交于
，
兩點，記直線
的斜率為
，求證：
為定值.
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