Question

（2007•河北區一模）如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）求B點到平面EAC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面PDC⊥平面PAD，只需要證明：CD⊥平面PAD，根據PA⊥平面ABCDCD?平面ABC，可知PA⊥CD，又AD⊥CD，從而可證；
（Ⅱ）連接AC、EC，取AD中點O，連接EO，則EO∥PA，過O作OF⊥AC交AC于F，連接EF，則∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，進而可求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）利用V_B-AEC=V_E-ABC，可求B點到平面EAC的距離．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCDCD?平面ABC∴PA⊥CD…（2分）
∵ABCD是矩形∴AD⊥CD
而PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD…（4分）
CD?平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD…（5分）
（Ⅱ）連接AC、EC，取AD中點O，連接EO，則EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
過O作OF⊥AC交AC于F，連接EF，則∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．…（7分）
由PA=2，則EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=

4 5

5

因為O是AD的中點，所以OF=

2 5

5

…（8分）
而EO=1，由勾股定理可得EF=

3 5

5

…（9分）
cos∠EFO=

OF

EF

=

2 5 5

3 5 5

=

2

3

…（10分）
（Ⅲ）連接BE，在三棱錐B-AEC中，
S△ABC=

1

2

AB×BC=

1

2

×2×4=4S△AEC=

1

2

AC×EO=

1

2

×2

5

×

3 5

5

=3…（12分）
點E到底面BAC的距離EO=1，
則由V_B-AEC=V_E-ABC，即

1

3

S△AEChB=

1

3

S△ABC×EO…（13分）

1

3

×3×hB=

1

3

×4×1求得hB=

4

3

所以B點到平面EAC的距離是

4

3

．…（14分）

點評：本題以四棱錐為載體，考查線面、面面位置關系，考查面面角，考查點面距離，關鍵是作出二面角的平面角．