Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)其定義域內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，當(dāng)a＜b時(shí)，都有f（a）＜f（b）．試用反證法證明：函數(shù)f（x）的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

證明：假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象與x軸至少有兩個(gè)交點(diǎn)，…（2分）
（1）若f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂ ，…（5分）
由已知，函數(shù)f（x）對(duì)其定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，有f（x₁）＜f（x₂）．…（7分）
又根據(jù)假設(shè)，x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，f（x₁）=f（x₂）=0，…（9分）
這與f（x₁）＜f（x₂）矛盾，…（10分）
所以，函數(shù)f（x）的圖象不可能與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．…（11分）
（2）若f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)多于兩個(gè)，可同理推出矛盾，…（12分）
所以，函數(shù)f（x）的圖象不可能與x軸有兩個(gè)以上交點(diǎn)．
綜上，函數(shù)f（x）的圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)…（14分）