Question

證明下面兩個命題：
（1）在所有周長相等的矩形中，只有正方形的面積最大；
（2）余弦定理：如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則a²=b²+c²-2bccosA．

Answer 1

【答案】分析：（1）（法一）：設長方形的長，寬分別為a，b，由題設a+b為常數，結合基本不等式可證
 （法二）：設長方形的周長為l，長為x，則寬為，從而可表示長方形的面積S=x=，利用二次函數的性質可證
（2）（法一）：根據向量的數量積的性質可知，= （），整理即可
法二：以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0），而=（bcosA-c）²+（bsinA）²即可
法三：過AB邊上的高CD，則由勾股定理可得a²=BC²=CD²+BD²=（bsinA）²+（c-acosA）²，可證
解答：證明一：（1）設長方形的長，寬分別為a，b，由題設a+b為常數（1分）
由基本不等式：，可得：，（4分）
當且僅當a=b時，等號成立，（1分）
即當且僅當長方形為正方形時，面積ab取得最大值．  （1分）
證明二：（1）設長方形的周長為l，長為x，則寬為           （1分）
于是，長方形的面積S=x=，（4分）
所以，當且僅x=時，面積最大為，此時，長方形的，即為正方形（2分）
（2）證法一：=   （4分）
= 
=
=b²+c²-2bccosA．
故，a²=b²+c²-2bccosA．（4分）
證法二  已知△ABC中A，B，C所對邊分別為a，b，c
以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，
則C（bcosA，bsinA），B（c，0），（4分）
=（bcosA-c）²+（bsinA）²
a²=b²+c²-2bccosA．（4分）．
故，a²=b²+c²-2bccosA．（4分）．
證法三  過AB邊上的高CD，則a²=BC²=CD²+BD²
=（bsinA）²+（c-acosA）²
∴a²=b²+c²-2bccosA．
故a²=b²+c²-2bccosA．（4分）
點評：本題主要考查了基本不等式及二次函數的性質在求解函數最值中的應用，及三角形中的余弦定理的證明，注意本題多種解法的應用．