Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，PA=2，且平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直線PC與平面ABC所成的角的正切值；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正切值．

Answer 1

分析：（I）過點P作PO⊥AB于O，連接OC，可得∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角，從而可求直線PC與平面ABC所成的角的正切值；
（Ⅱ）過C作CD⊥AB于D，過點D作DE⊥PA于E，連接CE，∠CED為二面角B---AP---C的平面角，則可求二面角B-AP-C的正切值．

解答：解：（Ⅰ）過點P作PO⊥AB于O，連接OC．
由平面PAB⊥平面ABC，知PO⊥平面ABC，
即∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．…（2分）
因為∠APB=90°，∠PAB=60°，
不妨設PA=2，則OP=

3

，AO=1，AB=4．
因為AB=BC=CA，所以∠CAB=60°，
所以OC=

42+12-2×4×1× 1 2

=

13

．
在Rt△OCP中，tan∠OPC=

OP

OC

=

3

13

=

39

13

．
即直線PC與平面ABC所成的角的正切值為

39

13

．…（6分）
（II）過C作CD⊥AB于D，由平面PAB⊥平面ABC，知CD⊥平面PAB．
過點D作DE⊥PA于E，連接CE，據三垂線定理可知CE⊥PA，
所以，∠CED為二面角B---AP---C的平面角．…（9分）
由（1）知AB=4，又∠APB=90°，∠PAB=60°，
所以CD=2

3

，DE=

3

．
在Rt△CDE中，tan∠CED=

CD

DE

=

2 3

3

=2
故二面角B-AP-C的正切值為2…（13分）

點評：本題考查線面角，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．