Question

已知定義在R上的函數f（x）=x³-3x，（Ⅰ）若函數g（x）的圖象與f（x）的圖象關于y軸對稱，求函數g（x）的解析式
（Ⅱ）過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數g（x）的圖象與f（x）的圖象關于y軸對稱，通過（-x，y）替換f（x）=x³-3x，即可求函數g（x）的解析式
（Ⅱ）通過f′（x）=3（x²-1），設切點為T（x₀，y₀），利用切線的斜率的關系式，得到的方程有3個根，構造函數h（x）=2x³-3x²+m+3，求出導數h′（x），令h'（x）=0，求出極值點，通過

h(0)=m+3＞0 h(1)=m+2＜0

，m的取值范圍

解答：解：（Ⅰ）函數g（x）的圖象與f（x）的圖象關于y軸對稱，
函數f（x）=x³-3x，所以g（x）=-x³+3x              （4分）
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-1），設切點為T（x₀，y₀），
則切線的斜率為k=3

x

2 0

-3=

y0-m

x0-1

=

x 3 0 -3x0-m

x0-1

，…6分
整理得2x³-3x²+m+3=0，依題意，方程有3個根．   …（7分）
設h（x）=2x³-3x²+m+3，則h′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
令h'（x）=0，得x₁=0，x₂=1，則h（x）在區間（-∞，0），[1，+∞）上單調遞增，
在區間（0，1）上單調遞減．…（11分）
因此，

h(0)=m+3＞0 h(1)=m+2＜0

，解得-3＜m＜-2．
所以m的取值范圍為（-3，-2）．…（12分）

點評：本題是中檔題，考查函數的導數與切線的斜率的關系，函數的極值的應用，考查轉化思想，計算能力．