Question

(本小題滿分12分)

設函數，的一個極值點是X = 3..

(I)求a與b的關系式（用a表示b,并求的單調區間；
(11)設a>0，若存在使得成立，求a的取值范圍.

 

 

Answer 1

【解】（Ⅰ）f `(x)＝－e^3-x,              ………………1分

由f `(3)=0，得 －e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，        …..2分

則 f `(x)＝e^3-x＝－e^3-x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3-x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點，∴－a－1≠3，即a≠－4, …..4分

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則在區間（－∞，3）上，f `(x)<0，

 f (x)為減函數；在區間（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。　　　　　　　　　　　　　…………5分

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則在區間（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；在區間（3，＋∞）上，f`(x)<0，f (x)為減函數…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，由于f（x）連續，那么f (x)在區間上的值域是，而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^-1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在區間上的值域是.　…..8分　又在區間上是增函數，且它在區間上的值域是，………….10分

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝()²≥0，所以只須僅須（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范圍是（0，）　　　　　……………12分.