Question

設x，y∈R，求證：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜的充要條件是xy≥0.

 

Answer 1

答案：
解析：

分析：充分性即證：xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即證： ｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0. 證明：①充分性 若xy＝0，則有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0. 此時顯然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜. 若xy＞0，則x，y同號. 當x＞0且y＞0時，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜； 當x＜0且y＜0時，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜ 綜上所述，xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜. ②必要性 ∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R ∴(x＋y)2＝（｜x｜＋｜y｜）2 即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2 xy＝｜xy｜xy≥0. 因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0. 故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.