Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，且滿足S_n=2a_n-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求和；
（3）設有m項的數列{b_n}是連續的正整數數列，并且滿足：．
問數列{b_n}最多有幾項？并求這些項的和．

Answer 1

解：（1）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n，即a_n+1=2a_n．
又S₁=2a₁-1，得a₁=1≠0，
∴數列{a_n}是以1為首項2為公比的等比數列，
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）知S_n=2^n-1，
∴S₁•+S₂•+S₃•+…+S_n+1•
=（2¹-1）•+（2²-1）•+（2³-1）•+…+（2ⁿ⁺¹-1）•
=2（+2+2²+…+2ⁿ）-（+++…+）
=2（1+2）ⁿ-2ⁿ
=2•3ⁿ-2ⁿ
（3）由已知得2••…=m-1．
又{b_n}是連續的正整數數列，
∴b_n=b_n-1+1．
∴上式化為=m-1．
又b_m=b₁+（m-1），消b_m得mb₁-3b₁-2m=0．
m==3+，由于m∈N^*，
∴b₁＞2，
∴b₁=3時，m的最大值為9．
此時數列的所有項的和為3+4+5+…+11=63
分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，即可求得a_n+1=2a_n．，繼而可證明數列{a_n}為等比數列，利用等比數列的概念即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知S_n=2^n-1，將其代入S₁•+S₂•+S₃•+…+S_n+1•，分組求和．利用二項式定理即可求得其結果；
（3）利用對數的性質可得到2••…=m-1，利用{b_n}是連續的正整數數列，且滿足上式，可化為=m-1，利用b_m=b₁+（m-1），消b_m即可求得答案．
點評：本題考查二項式定理的應用，考查數列求和，考查數列遞推式，突出考查創新思維與抽象邏輯思維的能力，屬于難題．