Question

設γ，θ為常數（θ∈(0，

π

4

)，γ∈(

π

4

，

π

2

)），若sin（α+γ）+sin（γ-β）=sinθ（sinα-sinβ）+cosθ（cosα+cosβ）對一切α，β∈R恒成立，則

tanθtanγ+cos(θ-γ)

sin2(θ+ π 4 )

=

 

．

Answer 1

分析：令 α，β 分別取0和

π

2

，再令 α，β 分別取

π

2

 和 0，化簡可得 tanγ=cotθ，θ+γ=

π

2

，代入要求的式子，化簡可得 

1+2sinθcosθ

1-cos(2θ+ π 2 ) 2

=

1+ sin2θ

1+sin2θ 2

，從而求得結果．

解答：解：令 α=0，β=

π

2

可得   sinγ-cosγ=-sinθ+cosθ  ①，
令 α=

π

2

，β=0 可得   cosγ+sinγ=sinθ+cosθ  ②，
由①②可得 sinγ=cosθ，cosγ=sinθ，∴tanγ=cotθ，θ+γ=

π

2

，
∴

tanθtanγ+cos(θ-γ)

sin2(θ+ π 4 )

=

1+2sinθcosθ

1-cos(2θ+ π 2 ) 2

=

1+ sin2θ

1+sin2θ 2

=2，故答案為2．

點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，求出兩個角θ和γ之間的關系，即 tanγ=cotθ，θ+γ=

π

2

，是解題的
關鍵．