Question

(本題滿分13分) 如圖，是離心率為的橢圓,

：()的左、右焦點，直線：將線段分成兩段，其長度之比為1 : 3．設是上的兩個動點，線段的中點在直線上，線段的中垂線與交于兩點．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 是否存在點，使以為直徑的圓經過點，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在兩點符合條件，坐標為，理由見解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 設，則＝，所以＝1．

因為離心率e＝，所以＝．

所以橢圓C的方程為．                                                       ……5分

 (Ⅱ) 當直線垂直于軸時，直線方程為＝－，

此時(，0)、(,0) ，．不合題意；                            ……7分

當直線不垂直于軸時，設存在點(－，) (≠0)，直線的斜率為，

．

由  得＝0，則，

故．此時，直線斜率為，的直線方程為．

即．

聯立 消去，整理得．

所以，．                                            ……10分

由題意0，于是

                       =0．

因為在橢圓內，符合條件；

綜上，存在兩點符合條件，坐標為．                                ……13分

考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求法和直線與橢圓位置關系的判斷和應用以及向量數量積的應用，考查學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.

點評：設直線方程時，要考慮到直線方程斜率是否存在；對于探究性問題，可以先假設存在，再進行計算，如果能求出來，就說明存在，如果求不出來或者得出矛盾，則說明不存在.