分析：（1）對f（x）求導數，得f'（x）=
，再分a的正負討論a、a+a
2和a
2的大小關系，即可得到f（x）單調性的兩種情況，得到函數f（x）的單調區間；
（2）原不等式進行化簡，等價變形得f（x
2）-（
a2-a）x
2＜f（x
1）-（
a2-a）x
1．因此轉化為證明函數h（x）=f（x）-（
a2-a）x在區間（a
2+a，a
2-a）內單調遞減，而h'（x）=
，通過研究分子對應二次函數在區間[a
2+a，a
2-a]上的取值，可得h'（x）＜0在x∈[a
2+a，a
2-a]上恒成立，因此h（x）=f（x）-（
a2-a）x在區間（a
2+a，a
2-a）內是減函數，從而得到原不等式成立．
解答：解：（1）由題意，可得f'（x）=x+
=
=
．…（2分）
令f'（x）＞0，因為x-a-a
2＞0故（x-a）（x-a
2）＞0．
當a＞0時，因為a+a
2＞a且a+a
2＞a
2，所以上不等式的解為（a+a
2，+∞），
因此，此時函數f（x）在（a+a
2，+∞）上單調遞增．…（4分）
當a＜0時，因為a＜a+a
2＜a
2，所以上不等式的解為（a
2，+∞），
從而此時函數f（x）在（a
2，+∞）上單調遞增，同理此時f（x）在（a+a
2＜a
2）上單調遞減．…（6分）
（2）要證原不等式成立，只須證明f（x
2）-f（x
1）＜（x
2-x
1）（
a2-a），
只須證明f（x
2）-（
a2-a）x
2＜f（x
1）-（
a2-a）x
1．
因為
a2+a＜x1＜x2＜a2-a，
所以原不等式等價于函數h（x）=f（x）-（
a2-a）x在區間（a
2+a，a
2-a）內單調遞減．…（8分）
由（1）知h'（x）=x-（
a2-a）+
=
，
因為x-a-a
2＞0，所以考察函數g（x）=x
2-
a2x+
+
-a
2，x∈[a
2+a，a
2-a]．
∵
=a
2＞
，且g（x）圖象的對稱軸x=
∈[a
2+a，a
2-a]，
∴g（x）≤g（a
2-a）=0．…（10分）
從而可得h'（x）＜0在x∈[a
2+a，a
2-a]上恒成立，
所以函數h（x）=f（x）-（
a2-a）x在（a
2+a，a
2-a）內單調遞減．
從而可得原命題成立 …（12分）
點評：本題給出含有自然對數的基本初等函數，求函數的單調區間并依此證明不等式在給定條件下成立．著重考查了基本初等函數的性質、利用導數研究函數的單調性和不等式的性質等知識，屬于中檔題．
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