Question

設函數f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜-2t+m對t∈（0，2）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（x）=t（x+t）²-t³+t-1（x∈R，t＞0），根據配方法即可求出最小值；
（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，對其求導后討論即可得出答案．
解答：解：（I）∵f（x）=t（x+t）²-t³+t-1（x∈R，t＞0），
∴當x=-t時，f（x）取最小值f（-t）=-t²+t-1，
即h（t）=-t³+t-1；
（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，
由g′（t）=-3t²+3=0得t=1，t=-1（不合題意，舍去）
當t變化時g′（t）、g（t）的變化情況如下表：

t	（0，1）	1	（1，2）
g′（t）	+	0	-
g（t）	遞增	極大值1-m	遞減

∴g（t）在（0，2）內有最大值g（1）=1-m
h（t）＜-2t+m在（0，2）內恒成立等價于g（t）＜0在（0，2）內恒成立，
即等價于1-m＜0
所以m的取值范圍為m＞1．
點評：本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，難度一般，掌握運用數學知識分析問題解決問題的能力．