Question

已知函數f（x）=lnx，若存在g（x）使得g（x）≤f（x）恒成立，則稱g（x）是f（x）的一個“下界函數”．
（Ⅰ）如果函數g（x）=

t

x

-lnx（t為實數）為f（x）的一個“下界函數”，求t的取值范圍；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

，試問函數F（x）是否存在零點，若存在，求出零點個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據g（x）≤f（x）恒成立，得到h（x）=2xlnx，對函數求導，得到函數在兩個區間上的單調性，得到函數的最小值，根據函數的思想，得到t的取值范圍．
（II）由（I）知，2xlnx≥-

2

e

，整理成lnx≥-

1

ex

，構造新函數，對新函數求導，做出函數的單調性，得到函數的最小值，兩個最小值放在一起得到要求的結果，注意兩個不等式的等號不能同時取得．

解答：解：（Ⅰ）

t

x

-lnx≤lnx恒成立，
∵x＞0，t≤2xlnx
令h（x）=2xlnx，則h′（x）=2（1+lnx）
當x∈(0，

1

e

)時，h′（x）＜0，h（x）在(0，

1

e

)上是減函數，
當x∈(

1

e

，+∞)，h′（x）＞0，h（x）在上(

1

e

，+∞)是增函數，
∴函數的最小值是-

2

e

，
∴t≤-

2

e

，
（Ⅱ）由（I）知，2xlnx≥-

2

e

，
∴lnx≥-

1

ex

F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

①，
∴F（x）≥

1

ex

-

1

ex

=

1

x

(

1

e

-

x

ex

)
令G（x）=

1

e

-

x

ex

，則G′（x）=e^-x（x-1）
則x∈（0，1）時，G（x）是減函數，
x∈（1，+∞）時，G（x）是增函數，
∴G（x）≥G（1）=0②，
∴F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

≥

1

x

(

1

e

-

x

ex

)≥0，
∵①②中等號取到的條件不同，
∴F（x）＞0，即函數F（x）不存在零點．

點評：本題考查函數的最值的求法，利用函數的導函數求函數的最值，本題是一個綜合題目，可以作為高考卷的壓軸題目，注意本題對于新定義的理解是解題的關鍵．