Question

已知函數

(1)當時,如果函數僅有一個零點,求實數的取值范圍.

(2)當時,比較與1的大小.

(3)求證:

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即

（3）利用（2）的結論或數學歸納法證明

【解析】

試題分析：（1）當時，，定義域是，     1分

，

令，得或．       2分

當或時，，當時，，

函數在、上單調遞增，在上單調遞減．     4分

的極大值是，極小值是．

當時，；當時，，

當僅有一個零點時，或．

∴的取值范圍是       5分

（2）當時，，定義域為．

令，

，

在上是增函數．        7分

∵

∴①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即．     9分

（3）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．

令，則有，  

．     12分

，．      14分

(法二)①當時，．

，，即時命題成立．      10分

②假設時，命題成立，即．

則當時，

．

根據（2）的結論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．   13分

因此，由①②知不等式成立．         14分

考點：本小題主要考查利用導數求解函數的單調性，求參數的取值范圍和利用導數或數學歸納法證明不等式.

點評：導數是研究函數性質的有力工具，要靈活運用解決問題，利用數學歸納法證明不等式時要注意放縮不等式的應用.