Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如右圖．該棱錐中，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在棱BC上移動．
（I）畫出該棱錐的直觀圖并證明：無論點E在棱BC的何處，總有PE⊥AF；
（II）當BE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°．

Answer 1

分析：（I）由題意，根據三視圖作出其對應的直觀圖，再由點E在棱BC滿足PE⊥AF，利用線面垂直證明線線垂直即可確定點E的位置；
（II）二面角P-DE-A的大小為45°是一個方程，本題用向量法做，先建立起分別以AB、AD、AP為坐標軸建立空間直角坐標系，計算出各點的坐標，求出兩個平面的法向量，用向量表示出二面角，再由二面角為45°建立方程求出參數的值，即可得BE

解答：解：（I）直觀圖如下（AF，PE不必作出）
在四棱錐P-ABCD中，由題知：PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是矩形，所以∠PDA是PD與底面ABCD所成角，從而∠PDA=30°，
又∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB與PA相交于點A．
∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵PA=AB=1，F是PB的中點，
∴AF⊥面PBC，又BP∩BC=B，PE?平面PBC
所以PE⊥AF
（II）分別以AB、AD、AP為坐標軸建立空間直角坐標系，則有P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，

3

，0），D（0，

3

，0），F（

1

2

，0，

1

2

）
設E（1，t，0），其中t∈[0，

3

），則

DE

=(1，t-

3

，0)，向量

AP

=（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量，
設

n

=(x，y，z)是平面PED的一個法向量，則有

n • PD =0 n • DE =0

得

3 y-z=0 x+ty- 3y =0

令z=

3

，得y=1，x=

3

-t，所以

n

=(

3

-t，1，

3

)，從而有|

n

| =

t2-2 3 t+7

n

•

AP

=

3

，由

2

2

=|

n • AP

|n |•| AP |

|得

t2-2 3 t+7

= 

6

，解得t=

3

-

2

（t=

3

+

2

舍）
故當t=

3

-

2

時，二面角P-DE-A的大小為45°

點評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關鍵是建立空間坐標系，利用向量法求證線面垂直，線面平行，以及求面面夾角，利用空間向量求解立體幾何中的線面，面面位置關系及求線面角，二面角，是空間向量的重要應用，引入空間向量，大大降低了求解立體幾何問題時的問題時的推理難度，使得思考變得容易，但此法也有不足，從解題過程可以看出，用空間向量法解立體幾何問題，運算量不小，計算時要嚴謹，莫因運算出錯導致解題失敗．