Question

學校文藝隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有3人，會跳舞的有5人．現從中選2人，其中至少有一人既會唱歌又會跳舞的概率為．
（1）求文藝隊的人數；
（2）（理科）設ξ為選出的2人中既會唱歌又會跳舞的人數，求Eξ．
（文科）若選出的2人一人唱歌，一人跳舞，求有多少種不同的選派方案？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，設文藝隊中既會唱歌又會跳舞的人數為x，分析可得只會唱歌、只會跳舞的人數與總人數，分x=1與2≤x≤3兩種情況討論，用x表示出從中選2人，其中至少有一人既會唱歌又會跳舞的概率，可求得x的值，進而可得答案；
（2）（理科）根據題意，ξ可取的值為0、1、2，分析ξ=0、1、2的意義，由等可能事件的概率，計算可得ξ=0、1、2的概率，由期望的計算方法，可得答案；
（文科）根據題意，分別計算“從既會唱歌又會跳舞的隊員中選出1名隊員唱歌”與“從只會唱歌的隊員中選出1名隊員唱歌”的選派方案，由分類計數原理計算可得答案．
解答：解：（1）根據題意，設文藝隊中既會唱歌又會跳舞的人數為x，
則只會唱歌的人數為3-x，只會跳舞的人數為5-x，總人數為8-x，
當x=1時，選出的2人中至少有1人既會唱歌又會跳舞的概率P=，不合題意，
當2≤x≤3時，由選出的2人中至少有1人既會唱歌又會跳舞的概率P=，
可解得x=2，
所以文藝隊共有6人．
（2）（理）根據題意，ξ可取的值為0、1、2，
ξ=0，即選出的2人中沒有既會唱歌又會跳舞的，則，
ξ=1，即選出的2人中有1人既會唱歌又會跳舞，則，
ξ=2，即選出的2人中都是既會唱歌又會跳舞的，則，
得=；
（文）若從既會唱歌又會跳舞的隊員中選出1名隊員唱歌，則有C₂¹C₄¹=8種不同的選派方案，
若從只會唱歌的隊員中選出1名隊員唱歌，則有C₁¹C₅¹=5種不同的選派方案，
因此，共有8+5=13種不同的選派方案．
點評：本題考查排列、組合的應用，涉及概率計算，離散型變量的計算；關鍵是由等可能事件的概率的求出文藝隊的人數．