Question

學(xué)校文藝隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有3人，會(huì)跳舞的有5人．現(xiàn)從中選2人，其中至少有一人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的概率為

3

5

．
（1）求文藝隊(duì)的人數(shù)；
（2）（理科）設(shè)ξ為選出的2人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，求Eξ．
（文科）若選出的2人一人唱歌，一人跳舞，求有多少種不同的選派方案？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)文藝隊(duì)中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)為x，分析可得只會(huì)唱歌、只會(huì)跳舞的人數(shù)與總?cè)藬?shù)，分x=1與2≤x≤3兩種情況討論，用x表示出從中選2人，其中至少有一人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的概率，可求得x的值，進(jìn)而可得答案；
（2）（理科）根據(jù)題意，ξ可取的值為0、1、2，分析ξ=0、1、2的意義，由等可能事件的概率，計(jì)算可得ξ=0、1、2的概率，由期望的計(jì)算方法，可得答案；
（文科）根據(jù)題意，分別計(jì)算“從既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的隊(duì)員中選出1名隊(duì)員唱歌”與“從只會(huì)唱歌的隊(duì)員中選出1名隊(duì)員唱歌”的選派方案，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)文藝隊(duì)中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)為x，
則只會(huì)唱歌的人數(shù)為3-x，只會(huì)跳舞的人數(shù)為5-x，總?cè)藬?shù)為8-x，
當(dāng)x=1時(shí)，選出的2人中至少有1人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的概率P=

C 1 6

C 2 7

=

2

7

，不合題意，
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，由選出的2人中至少有1人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的概率P=

C 1 x C 1 8-2x

C 2 8-x

+

C 2 x

C 2 8-x

=

3

5

，
可解得x=2，
所以文藝隊(duì)共有6人．
（2）（理）根據(jù)題意，ξ可取的值為0、1、2，
ξ=0，即選出的2人中沒有既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的，則P(ξ=0)=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

，
ξ=1，即選出的2人中有1人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，則P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，
ξ=2，即選出的2人中都是既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的，則P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
得Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

；
（文）若從既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的隊(duì)員中選出1名隊(duì)員唱歌，則有C₂¹C₄¹=8種不同的選派方案，
若從只會(huì)唱歌的隊(duì)員中選出1名隊(duì)員唱歌，則有C₁¹C₅¹=5種不同的選派方案，
因此，共有8+5=13種不同的選派方案．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及概率計(jì)算，離散型變量的計(jì)算；關(guān)鍵是由等可能事件的概率的求出文藝隊(duì)的人數(shù)．