Question

（普通班）已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

（實驗班）已知函數R)．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的的切線方程；

（Ⅱ）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（實驗班）（Ⅰ）解：當時，．

，                                 

因為切點為（）， 則，               

所以在點（）處的曲線的切線方程為：．   

（Ⅱ）解法一：由題意得，即． 

，         

因為，所以恒成立，

故在上單調遞增，                        

要使恒成立，則，解得．

解法二：             

（1）當時，在上恒成立，故在上單調遞增，

即．                

（2）當時，令，對稱軸，

則在上單調遞增，又     

① 當，即時，在上恒成立，

所以在單調遞增，

即，不合題意，舍去

②當時，， 不合題意，舍去  

綜上所述：                                

20．(普通班)解：（1）∵焦距為4，∴ c=2………………………………………………1分

又∵的離心率為……………………………… 2分

∴，∴a=，b=2………………………… 4分

∴標準方程為………………………………………6分

（2）設直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由得……………………7分

∴x₁+x₂=，x₁x₂=

由（1）知右焦點F坐標為（2，0），∵右焦點F在圓內部，∴＜0…………8分

∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0

即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分

  ∴＜0…………… 11分

∴k＜……… 12分

經檢驗得k＜時，直線l與橢圓相交，∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）……13分

 

【解析】略