Question

【題目】某班級共派出個男生和個女生參加學校運動會的入場儀式，其中男生倪某為領隊.入場時，領隊男生倪某必須排第一個，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊入場，共有種排法；入場后，又需從男生（含男生倪某）和女生中各選一名代表到主席臺服務，共有種選法.（1）試求和； （2）判斷和的大小（），并用數學歸納法證明.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】分析：(1)根據隊里男生甲必須排第一個，然后女生整體排在男生的前面，排成一路縱隊入場，可得，根據從男生和女生中各選一名代表到主席臺服務，可得；

(2)根據，猜想，再用數學歸納法證明，第二步的證明利用分析法證明.

詳解：（1），.

（2）因為，所以，，

，由此猜想：當時，都有，即.

下面用數學歸納法證明（）.

①時，該不等式顯然成立.

②假設當時，不等式成立，即，.

則當時，，

要證當時不等式成立.只要證：，

只要證：..

令，因為，所以在上單調遞減，

從而，而，所以成立.

則當時，不等式也成立.

綜合①、②得原不等式對任意的均成立.